2020年《天府广记》第7期
名人 | 秦九韶 古代数学集大成者
发布日期:2020-09-02 16:28:11 来源:成都市政协

中国传统数学发展到宋元年间达到了鼎盛时期。南宋时期著名数学家秦九韶,与李治、杨辉、朱世杰并称为宋元数学四大家。1274年,他完成的数学宏著《数书九章》,代表了世界数学在中世纪达到的最高水平,奠定了其时人难以望其项背的数学地位。他提出的高次方程的数值解法和解一次同余问题的总数术,“正负开方术”与“大衍求一术”都已成为经典。今年6月,秦九韶入选第二批四川历史名人。

安岳秦九韶纪念馆

学识渊博的青年才俊

如果将秦九韶和意大利文艺复兴时期的风云人物相比,竟有几分相似:他多才多艺,懂星占、数学、音乐、建筑,还擅长诗文,会骑术、剑术、打球等。这些与他自幼生活的地方以及他的父亲有很大的关系。

1208年春,秦九韶出生在普州(今四川安岳), 在此度过了无忧无虑、天真烂漫、欢快活泼的少儿时代。普州城天庆观街曾有“秦苑斋”,据普州民间故事《秦团练奉祠谢赐》,秦苑斋是秦家宅院,是秦九韶少年时生活、读书的地方。秦九韶的父亲名叫秦季槱,绍熙四年(1193年)与南宋哲学家陈亮、程璐一起参加科举考试,成为同榜进士,嘉定五年(1212年)六月任巴州(今四川巴中)太守。九岁的秦九韶离开普州到巴州与父亲团聚。数年后遭遇兵变,秦季槱携全家到达南宋都城临安(今浙江杭州)。父亲任职工部郎中和秘书少监期间,正是秦九韶努力学习和积累知识的时候。

工部郎中掌管营建,而秘书省则掌管图书,其下属机构设有太史局,秦九韶有机会阅读大量典籍,并拜访天文历法和建筑等方面的专家,请教天文历法和土木工程问题,甚至可以深入工地,了解施工情况。他曾向“隐君子”陈元靓学习数学,向著名词人李刘学习骈俪文辞……秦九韶由此成为一位学识渊博、多才多艺的青年学者,时人说他“性极机巧,星象、音律、算术,以至营造等事,无不精究”“游戏、球、马、弓、剑,莫不能知”。

1225年7月,17岁的秦九韶随父亲回川至潼川(今四川三台县)。蒙古军队已侵入今甘肃、陕西一带,南宋在各地建立民间武装,通武知兵的秦九韶担任了民间武装的“义兵首”,维护地方治安。四年后,绍定二年(1229年)十月,秦九韶擢升为郪县县尉。

传承创新的大数学家

宋朝郪县属潼川府,为潼川府治所在。现在三台县还流传着民间故事《秦县尉巧断农夫边界案与县学先生的解读》。故事说,绍定四年(1231年)六月,郪江沿岸暴雨成灾,秦九韶在郪县核桃坝偶遇两位农夫为洪水冲毁的农田边界发生争执。两人都说自己的田原来像三角形,但姓柳的农夫说他的田要大点,姓郭的农夫也说他的田小不了多少。秦九韶细心观察被冲毁的田块,走进田块里步量,测得各种数据。他对两位农夫说:我来帮助你们划定边界。秦九韶用“漂田堆积”的方法,按照步量测得的大中小斜的数据,算出了他们原来田地的面积,划出了两位农夫都非常满意的边界。这件事很快在当地传开了,碰到生活生产中需要用数学知识解决的问题,当地的农民总会找上门来,请秦九韶帮助解决,秦九韶也总是乐意帮忙。

端平二年(1235年)七月,蒙古军队进入四川,秦九韶经常参与军事活动,饱受战争之苦。他后来回忆道:“际时狄患,历岁遥塞,不自意全于矢石间,尝险罹忧,荏苒十祀,心槁气落。”嘉熙元年(1237年),潼川失守,秦九韶被迫往东南避难,先后担任过蕲州(今湖北蕲春)通判及和州(今安徽和县)太守,后定居于湖州(今浙江湖州市)。

秦九韶公务繁忙,却利用业余时间研究数学。他曾经担任过“义兵首”和县尉,都是武官。《数书九章》中的军旅类,显然与这些经历有关。他曾两度担任通判,管理钱粮、户口、赋役等。《数书九章》中的田域类、赋役类、钱谷类,显然来自这段经历。他将这些研究成果,写成笔记和草稿,为以后写作《数书九章》作了充分的准备。

淳祐四年(1244年)八月,秦九韶担任建康(今江苏南京)府通判。同年十一月,母亲逝世,他请假回到湖州家中,守孝三年。三年间,他总结经验,专注于数学研究,于淳祐七年(1247年),完成了数学巨著《数术大略》,即《数书九章》。该书著述方式,大多由“问曰”“答曰”“术曰”“草曰”四部分组成。“问曰”,是从实际生活中提出问题;“答曰”,给出答案;“术曰”,阐述解题原理与步骤;“草曰”,给出详细的解题过程。该书共18卷,分为大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九大类,每类用 9个例题(全书共81题)来阐明各种算法。许多计算方法直到现在仍有很高的参考价值和实践意义,被誉为“算中宝典”,是国内外公认的一部世界数学名著,代表着中世纪世界数学的最高水平。数学史家梁宗巨评价道:“秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著,特别是高次方程的数值解法‘正负开方术’和‘大衍求一术’,是中国古代数学研究的明珠,在世界数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束,中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。”

数学思想的历史光芒

“正负开方术”是中国数学史上的一大重要成就,在世界数学史上也是最早的。在欧洲,直到19世纪初叶,类似的方法才由意大利数学家鲁斐尼于1804年、英国数学家霍纳于1819年提出来,欧洲人将此称为“鲁斐尼—霍纳方法”。这一方法与秦九韶提出的“正负开方术”十分类似,但足足晚了600年。正因为如此,早就有学者认为,欧洲的“鲁斐尼一霍纳方法”理应改称“秦九韶方法”。此外,秦九韶还改进了一次方程组的解法,用互乘对减法消元,与现今的加减消元法完全一致;同时秦九韶又给出了筹算的草式,可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲,最早的一次方程组的解法是1559年法国人布丢给出的,他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组,比秦九韶晚了312年。

秦九韶把在他之前的中国古代历法推算上的“上元积年”算法与《孙子算经》中的“物不知其数”题的解法联系起来,进一步阐述了整数论中一次同余式问题的解法,并与《周易》中的“大衍之数”相附会,写出了“大衍求一术”。他系统地介绍了这种计算方法,即:三三数之余数乘70,五五数之余数乘21,七七数之余数乘15,三数相加,减去105的倍数,即得所求的数。后来有人把秦九韶的这个算法编成歌句:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知。”秦九韶的“大衍求一术”算法系统地指出了求解一次同余组的一般计算步骤,正确而又严密。《数书九章》用大量的例题,如“古历会积”“积尺寻源”“推计土功”“程行计地”等,广泛应用“大衍求一术”来解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题,充分显示了秦九韶高超的数学水平和计算技巧。在西方,直到18世纪中叶和19世纪初,数学家欧拉和高斯等人才对联立一次同余式方程进行了较为深入地研究,并得到了与秦九韶的“大衍求一术”相同的结果,而这已经是500年以后的事了。正因为如此,欧美的整数论者都十分推崇秦九韶的伟大贡献,并把他的“大衍求一术”称为“中国的剩余定理”。

秦九韶的《数书九章》被称为一部划时代的巨著

遗憾的是秦九韶的手稿在当时并没有引起大的影响,没有为他同时代的人所充分理解和应用,杨辉、朱世杰都没有引用过秦九韶所创造的“大衍求一术”,明代中叶以后几乎失传。直到1842年第一次印刷在民间流传后,才引起了如黄宗宪、李锐、张敦仁、骆腾风等诸多学者的兴趣。而秦九韶的“大衍求一术”传到欧洲后,引起了欧洲学者的兴趣和重视。德国著名数学家康托高度评价了“大衍求一术”,称赞发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才”。直到今天,“大衍求一术”仍然引起西方数学史家浓厚的研究兴趣。1973年,美国出版的一部由比利时人力勃雷希撰写的数学史专著《十三世纪的中国数学》中,系统介绍了中国学者在一次同余论方面的成就,在评论秦九韶的贡献时说:“秦九韶在不定分析方面的著作时代颇早,考虑到这一点,我们就会看到,美国著名科学史家萨顿称秦九韶为‘他那个民族、他那个时代,并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一’,是毫不夸张的。”

宝祐二年(1254年),秦九韶回到建康,改任沿江制置使参议,宝祐六年(1258年)任琼州(今海南海口)太守,被免职后回到湖州。景定二年(1261年),秦九韶被贬至梅州做地方官,“在梅治政不辍”,约在1268年死于任所。(文 许永强,图片由作者提供)

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